Jumat, 18 Oktober 2019

Materi Vektor Kelas XI SMK

VEKTOR

PENGERTIAN VEKTOR


Vektor merupakan sebuah besaran yang memiliki arah. Vektor digambarkan sebagai panah dengan yang menunjukan arah vektor dan panjang garisnya disebut besar vektor. Dalam penulisannya, jika vektor berawal dari titik A dan berakhir di titik B bisa ditulis dengan sebuah huruf kecil yang diatasnya ada tanda garis/ panah seperti \vec{v} atau \bar{v} atau juga: \vec{AB}

Misalkan vektor \bar{v} merupakan vektor yang berawal dari titik A(x_1,y_1) menuju titik B(x_2,y_2) dapat digambarkan koordinat cartesius dibawah. Panjang garis sejajar sumbu x adalah v_1 = x_2 - x_1 dan panjang garis sejajar sumbu y adalah v_2 = y_2 - y_1 merupakan komponen-komponen vektor \bar{v}.



pengertian vektor

Komponen vektor \bar{v} dapat ditulis untuk menyatakan vektor secara aljabar yaitu:
\vec{v} = \left(\begin{array}{r} v_1\\ v_2\end{array}\right) = \left(\begin{array}{r} x_2-x_1\\ y_2-y_1\end{array}\right) atau \vec{v} = (v_1,v_2)
JENIS-JENIS VEKTOR
Ada beberapa jenis vektor khusus yaitu:
  • Vektor Posisi
    Suatu vektor yang posisi titik awalnya di titik 0 (0,0) dan titik ujungnya di A (a_1,a_2)
  • Vektor Nol
    Suatu vektor yang panjangnya nol dan dinotasikan \bar{0}. Vektor nol tidak memiliki arah vektor yang jelas.
  • Vektor satuan
    Suatu vektor yang panjangnya satu satuan. Vektor satuan dari \vec{v} = \left(\begin{array}{r} v_1\\ v_2\end{array}\right) adalah:
    \bar{U_v} = \frac{\bar{v}}{\mid\bar{v}\mid} = \frac{1}{\mid\bar{v}\mid}\left(\begin{array}{r} v_1\\ v_2\end{array}\right)
  • Vektor basis
    Vektor basis merupakan vektor satuan yang saling tegak lurus. Dalam vektor ruang dua dimensi (R^2) memiliki dua vektor basis yaitu \bar{l} = (1,0)dan \bar{j} = (0,1). Sedangkan dalam tiga dimensi (R^3) memiliki tiga vektor basis yaitu \bar{I} = (1, 0, 0)\bar{J} = (0, 1, 0), dan \bar{K} = (0, 0,1).

Vektor di R^2

Panjang segmen garis yang menyatakan vektor \bar{v} atau dinotasikan sebagai \mid\bar{v}\mid Panjang vektor sebagai:
vektor di R2
Panjang vektor tersebut dapat dikaitkan dengan sudut \theta yang dibentuk oleh vektor dan sumbu x. positif.
panjang dan rumus vektor
Vektor dapat disajikan sebagai kombinasi linier dari vektor basis \bar{l} = \binom{1}{0} dan \bar{J} = \binom{0}{1} berikut:
\bar{v} =\left(\begin{array}{r} v_1\\ v_2\end{array}\right) = v_1\left(\begin{array}{r} 1 \\ 0 \end{array}\right) + v_2\left(\begin{array}{r} 0\\ 1\end{array}\right)
\bar{v} =v_1 \bar{i} + v_2\bar{j}
panjang vektor di r2

Operasi Vektor di R^2

Penjumlahan dan pengurangan vektor di R^2

Dua vektor atau lebih dapat dijumlahkan dan hasilnya disebut resultan. Penjumlahan vektor secara aljabar dapat dilakukan dengan cara menjumlahkan komponen yang seletak. Jika \vec{a} = \left(\begin{array}{r} a_1\\ a_2\end{array}\right) dan \vec{b} = \left(\begin{array}{r} b_1\\ b_2\end{array}\right) maka:
\vec{a} + \vec{b} = \left(\begin{array}{r} a_1+b_1\\ a_2+b_2\end{array}\right)
Penjumlahan secara grafis dapat dilihat pada gmbar dibawah:
penjumlahan dan pengurangan vektor
Dalam pengurangan vektor, berlaku sama dengan penjumlahan yaitu:
\bar{a} - \bar{b} = \left(\begin{array}{r} a_1-b_1\\ a_2-b_2\end{array}\right)
Sifat-sifat dalam penjumlahan vektor sebagai berikut:
  • \bar{a} + \bar{b} = \bar{b} + \bar{a}
  • \bar{a} + (\bar{b}+\bar{c}) = (\bar{a} + \bar{b}) + \bar{c}

Perkalian vektor di R^2 dengan skalar

Suatu vektor dapat dikalikan dengan suatu skalar (bilangan real) dan akan menghasilkan suatu vektor baru. Jika \bar{v} adalah vektor dan k adalah skalar. Maka perkalian vektor:
k.\bar{v}
Dengan ketentuan:
  • Jika k > 0, maka vektor k.\bar{v} searah dengan vektor \bar{v}
  • Jika k < 0, maka vektor k.\bar{v} berlawanan arah dengan vektor \bar{v}
  • Jika k = 0, maka vektor k.\bar{v} adalah vektor identitas \bar{o} = ^0_0
Secara grafis perkalian ini dapat merubah panjang vektor dan dapat dilihat pada tabel dibawah:
perkalian vektor dengan skalar
Secara aljabar perkalian vektor \bar{v} dengan skalar k dapat dirumuskan:
k.\bar{v} = \left(\begin{array}{r} k.v_1\\ k.v_2\end{array}\right)

Perkalian Skalar Dua Vektor di R^2

Perkalian skalar dua vektor disebut juga sebagai hasil kali titik dua vektor dan ditulis sebagai:
\bar{a}.\bar{b} (dibaca : a dot b)
Perkalaian skalar vektor \bar{a} dan \bar{b} dilakukan dengan mengalikan panjang vektor \bar{a} dan panjang vektor \bar{b} dengan cosinus \theta. Sudut \theta yang merupakan sudut antara vektor \bar{a}dan vektor \bar{b}.
Sehingga:
\bar{a} \cdot \bar{b} = \mid\bar{a}\mid\mid\bar{b}\mid cos\theta
Dimana:
perkalian skalar dua vektor
Perhatikan bahwa:
  • Hasil kali titik dua vektor menghasilkan suatu skalar
  • \bar{a}.\bar{a} = (\bar{a}^2)
  • \bar{a}.(\bar{b}+ \bar{c}) = (\bar{a} . \bar{a}) + (\bar{a} . (\bar{c})

Vektor di R^3

Vektor yang berada pada ruang tiga dimensi (x, y, z).jarak antara dua titik vektor dalam R^3 dapat diketahui dengan pengembangan rumus phytagoras. Jika titik A(x_1,y_1,z_1) dan titik B(x_2,y_2,z_2) maka jarak AB adalah:
AB = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 b+ (z_2 - z_1)^2}
Atau jika \bar{v} = \left(\begin{array}{r} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{array}\right), maka
\mid\bar{v}\mid = \sqrt{(v_1)^2 + (v_2)^2 + (v_3)^2}
Vektor \bar{AB} dapat dinyatakan dalam dua bentuk, yaitu dalam kolom \bar{AB} = \left(\begin{array}{r} b_1 - a_1\\ b_2 - a_2\\ b_3 - a_3\end{array}\right) atau dalam baris \bar{AB} = (b_1 - a_1,b_2 - a_2,b_3 - a_3). Vektor juga dapat disajikan sebagai kombinasi linier dari vektor basis \bar{l}(1,0,0) dan \bar{J}(0,1,0) dan \bar{K}(0,0,1) berikut:
\bar{v} = \left(\begin{array}{r} v_1\\ v_2\\ v_3\end{array}\right) = v_1\left(\begin{array}{r} 1\\ 0\\ 0\end{array}\right) + v_2\left(\begin{array}{r} 0\\ 1\\ 0\end{array}\right) + v_3\left(\begin{array}{r} 0\\ 0\\ 1\end{array}\right)
\bar{v} = v_1\bar{I} + v_2\bar{J} + v_3\bar{K}
vektor di R3

Operasi Vektor di R^3

Operasi vektor di R^3 secara umum, memiliki konsep yang sama dengan operasi vektor di R^2 dalam penjumlahan, pengurangan, maupun perkalian.

Penjumlahan dan pengurangan vektor di R^3

Penjumlahan dan pengurangan vektor di R^3 sama dengan vektor di R^2 yaitu:
\bar{a} + \bar{b} = \left(\begin{array}{r} a_1\\ a_2\\ a_3\end{array}\right) + \left(\begin{array}{r} b_1\\ b_2\\ b_3\end{array}\right) = \left(\begin{array}{r} a_1+b_1\\ a_2+b_2\\ a_3+b_3\end{array}\right)
Dan
\bar{a} - \bar{b} = \left(\begin{array}{r} a_1\\ a_2\\ a_3\end{array}\right) - \left(\begin{array}{r} b_1\\ b_2\\ b_3\end{array}\right) = \left(\begin{array}{r} a_1-b_1\\ a_2-b_2\\ a_3-b_3\end{array}\right)

Perkalian vektor di R^3 dengan skalar

Jika \bar{v} adalah vektor dan k adalah skalar. Maka perkalian vektor:
k.\bar{v} = \left(\begin{array}{r} k.v_1\\ k.v_2\\ k.v_3\end{array}\right)

Hasil kali skalar dua vektor

Selain rumus di R^3, ada rumus lain dalam hasil kali skalar dua vektor. Jika \bar{a} = a\bar{I} + a_2\bar{J} + a_3\bar{K} dan \bar{b} = b_1\bar{i} + b_2\bar{j} + b_3\bar{k} maka \bar{a}.\bar{b} adalah:
\bar{a}.\bar{b} = (a_1b_1) + (a_2b_2) + (a_3b_3)

Proyeksi Orthogonal vektor

Jika vektor \bar{a} diproyeksikan ke vektor bar{b} dan diberi nama \bar{c} seperti gambar dibawah:
proyeksi orthogonal vektor
Diketahui:
\bar{a}.\bar{b} = \mid\bar{a}\mid \mid \bar{b} \mid cos\theta \overset{maka}{\rightarrow} cos\theta = \frac{\bar{a}.\bar{b}}{\mid\bar{a}\mid\mid\bar{b}\mid}
Sehingga:
\mid\bar{c}\mid = \mid\bar{a}\mid\mid cos\theta\mid atau \mid\bar{c}\mid = \mid\frac{\bar{a}.\bar{b}}{\mid\bar{b}\mid}\mid
Untuk mendapat vektornya:
\bar{c} = \mid\frac{\bar{a}.\bar{b}}{\mid \bar{b} \mid} \mid \bar{b}

Contoh Soal Vektor dan Pembahasan

Contoh Soal 1

Diketahui titik A(2,4,6), titik B(6,6,2), dan titik C(p,q,-6). Jika titik A, B, dan C segaris maka tentukan nilai p+q.
Pembahasan 1:
Jika titik-titik A, B, dan C segaris maka vektor \bar{AB} dan vektor \bar{AC} bisa searah atau berlainan arah. Sehingga akan ada bilangan m yang merupakan sebuah kelipatan dan membentuk persamaan
  • m.\bar{AB} = \bar{AC}
Jika B berada diantara titik A dan C, diperoleh:
  • \bar{AB} + \bar{BC} = \bar{AC}
sehingga:
\bar{AB} = \left(\begin{array}{r} 6-2\\ 6-4\\ 2-6\end{array}\right) = \left(\begin{array}{r} 4\\ 2\\ -4\end{array}\right)
\bar{AC} = \left(\begin{array}{r} p-2\\ q-4\\ -6-6\end{array}\right) = \left(\begin{array}{r} p-2\\ q-4\\ -12\end{array}\right)
Maka kelipatan m dalam persamaan:
m.\bar{AB} = \bar{AC}
m.\left(\begin{array}{r} 4\\ 2\\ -4\end{array}\right) = \left(\begin{array}{r} p-2\\ q-4\\ -12\end{array} \right)
-4.m = (-12) \rightarrow m = 3
Diperoleh:
  • 2.m = (q - 4) \rightarrow 6 = (q - 4)
    q = 10
  • 4.m = (p - 2) \rightarrow 12 (p - 2)
    p = 14
disimpulkan:
p+q=10+14=24

Contoh Soal 2

Jika diketahui vektor pada titik A dan titik B dan vektor pada titik C yang berada diantara garis Ab seperti gambar dibawah. Tentukan persamaan vektor C.
contoh soal vektor dan pembahasannya
Pembahasan 2:
Dari gambar dapat diketahui bahwa:
  • \bar{AB} + \bar{a} = \bar{b} sehingga \bar{AB} = \bar{b} - \bar{a}
  • \bar{AC} = \frac{m}{m+n}\bar{AB} = \frac{m}{m+n}(\bar{b} - \bar{a})
Sehingga:
\bar{c} = \bar{AC} + \bar{a}
= \frac{m}{m+n} (\bar{b} - \bar{a}) + \bar{a} = \frac{m}{m+n}(\bar{b}) - \frac{m}{m+n}(\bar{a}) + \frac{m+n}{m+n}(\bar{a})
= \frac{m}{m+n}(\bar{b})+\frac{n}{m+n}(\bar{a})

Contoh Soal 3

Misalkan vektor \bar{a} = 4\bar{i} + y\bar{j} dan vektor \bar{b}=2\bar{i} + 2\bar{j} + \bar{k}. Jika panjang proyeksi vektor a Ì…\bar{a} pada \bar{b} adalah 4. Maka tentukan nilai y.
Pembahasan 3:
Diketahui:
\mid\bar{b}\mid = \sqrt{(2)^2 + (2)^2 + (1)^2} = \sqrt{9} = 3
  • \bar{a}.\bar{b} = (4.2) + (2.y) + (0.1) = 8 + 2y
Maka:
\bar{c} = \mid\frac{\bar{a}.\bar{b}}{\mid\bar{b}\mid} \mid \bar{b}\overset{menjadi}{\rightarrow}4 = \mid\frac{8+2y}{3}\mid
12=8+2y
y=2
Sumber artikel: Sumber Belajar
Untuk mempermudah mempelajari materi vektor, bisa simak video-video yang membahas semua materi tentang vektor di bawah ini. 
VIDEO DEFINISI DAN NOTASI VEKTOR

LINGKUP VEKTOR DIMENSI 2 (R2)

OPERASI HITUNG VEKTOR DIMENSI 2 (R2)

LINGKUP VEKTOR DIMENSI 3 (R3)
OPERASI HITUNG VEKTOR DIMENSI 3 (R3)



Related Post

29 komentar:

  1. Pak saya kevin rizki darmawan(14) kelas XI-KKB A,dan video yang bapak lampirkan di blog sudah saya lihat. Terima kasih pak

    BalasHapus
  2. Pak saya refandi Alan syahputra
    Absen (27)
    kelas XI KKB-A

    BalasHapus
  3. Nama : Wisnu Prima Atmaja
    Kelas:XI KKB A
    No absen :34

    BalasHapus
  4. Wahyu Efendi no 33 kelas XI KKB A

    BalasHapus
  5. Prasojo aetyo utomo no.26 XI KKB A

    BalasHapus
  6. nadya ayu syufi no 22 XI KKB A

    BalasHapus
  7. Nama: Abednego louis V.A
    Kelas: XI KKB A
    NO: 01

    BalasHapus
  8. Aditya ferdiansyah n.4 kelas XI KKB A

    BalasHapus
  9. Nama:Moch Ardiansyah maulana
    Kelas:XI KKB A
    NO Absen:15

    BalasHapus
  10. Nama : ZaenalKarimFidnaturRohman
    Kelas : XI KKB A
    NoAbsn : 35

    BalasHapus
  11. Nama. :Dieto marcellino fakhrudin
    Absen :07
    Kelas : XI KKB A

    BalasHapus
  12. Nama : Iffah Salsabila
    Kelas: 11 KKB.A
    NO : 12

    BalasHapus
  13. Nama:nur ainiyah isnaeni
    Kelas:11 kkb.a
    No:24

    BalasHapus
  14. Nama:FATHUR ROZI
    kelas:XI KKB A
    no Absen:09
    Mohon maaf pak saya lupa bawak hp ini saya minjem akunnya wisnu buat Absen ke pak eko.

    BalasHapus
  15. Nama:muhammmad rizal saputra
    Absen:19
    Kelas: XI KKB A

    BalasHapus
  16. Baharudin syehans
    No (06)
    XI KKB A

    BalasHapus
  17. Nama : moch bagus rezan driansyah
    Absen : 16
    Kelas : XI KKB-A

    BalasHapus
  18. Nama:Muhammad Zainudin
    Kelas:XI KKB A
    No:21

    BalasHapus
  19. Nama: Mock Verdy Prasetiyo
    Kelas:Xl KKB_A
    Ni absen: 18

    BalasHapus
  20. Nama:Sultan Raihan Rifki
    Kelas :XI KKB-A
    No. : 30

    BalasHapus
  21. Nama:Mohammad Verry Ardiansyah
    Kelas:11 KKB A
    Absen:20

    BalasHapus
  22. Nama:Nur lailatul firda
    Kelas:XI KKB A
    Absen:25

    BalasHapus
  23. Nama:Hidayatul Maghfiroh
    Kelas:XI KKB A
    No Absen:11

    BalasHapus
  24. Nama:Adam Muhammad
    Kelas:XI KKB-A
    No :2

    BalasHapus
  25. NAMA =vendy Dwi Kurniawan
    KELAS =XI KKB-A
    NO. ABSEN =32 (tiga puluh dua)

    BalasHapus
  26. Komentar ini telah dihapus oleh pengarang.

    BalasHapus