Selasa, 28 Januari 2020

Materi Tiga Dimensi SMK (Part 2 Jarak Pada Ruang)

Disusun oleh: Eko Agus Triswanto

Salam Pendidikan Indonesia.
Sobat pembelajar yang budiman, kali ini kita akan melanjutkan materi tentang Dimensi Tiga, khususnya pada sub materi Jarak Pada Ruang. Sebelumnya kita sudah mempelajari materi Dimensi Tiga, tepatnya sub materi Kedudukan Titik, Garis dan Bidang pada Dimensi Tiga (baca di sini)  
Pembahasan kali ini akan kita pecah menjadi beberapa bagian, mulai dari
paparan materi secara tertulis, video materi hingga latihan-latihan soalnya. 
Dalam geometri jarak adalah panjang ruas garis terpendek antara dua objek geometri. Jarak selalu bernilai positif. Berdasarkan kedudukan objek dalam ruang, jarak dalam ruang terdiri atas beberapa macam, berikut penjelasannya.

1. Jarak antara Dua Titik
Jarak dua titik dinyatakan sebagai panjang garis yang menghubungkan kedua titik tersebut. Untuk mencari jarak antara dua titik yang diketahui keterangan panjang, cara yang umum digunakan dapat menggunakan rumus pythagoras.
Terkadang, ada bentuk soal yang menanyakan jarak dua titik hanya diketahui koordinatnya. Jika kedua letak koordinatnya dinyatakan sebagai (x, y, z) maka dapat dicari menggunakan cara dan rumus mencari pada dimensi tiga, seperti kasus berikut.
Diketahui dua titik A dan B dengan koordinat berturut-turut adalah A(x_{1}, y_{1}, z_{1}) dan A(x_{2}, y_{2}, z_{2}). Jarak titik A dan B dapat dicari menggunakan rumus berikut.
  \[ \left| AB \right| = \sqrt{(x_{1} - x_{2})^{2} + (y_{1} - y_{2})^{2} + (z_{1} - z_{2})^{2}} \]
Berikut ini akan diberikan contoh soal mencari jarak titik ke titik yang terletak pada bangun ruang untuk menambah pemahaman sobat idschool.
Contoh Soal dan Pembahasan Jarak Titik ke Titik
Contoh 1: Tentukan jarak antara dua titik yang memiliki koordinat P(0, 7, 6) dan Q(5, 2, 1)!
Pembahasan:
  \[ \left| PQ \right| = \sqrt{0 - 5)^{2} + (7 - 2)^{2} + (6 - 1)^{2}} \]
  \[=\sqrt{(-5)^{2} + (5)^{2} + 5^{2}}\]
  \[=\sqrt{25+ 25 + 25}\]
  \[=\sqrt{75}\]
  \[=\sqrt{25 \cdot 3}\]
  \[=\sqrt{25} \cdot \sqrt{3}\]
  \[=5\sqrt{3}\]
Contoh 2:
Perhatikan gambar berikut!
contoh soal mencari jarak titik ke titik pada dimensi tiga
Jika titik P berada pada tengah-tengah garis BF maka jarak antara titik A dan P adalah ….
A.     5\sqrt{3}
B.     5\sqrt{2}
C.     3\sqrt{7}
D.     3\sqrt{5}
E.     3\sqrt{3}
Pembahasan:
Perhatikan gambar di bawah!
jarak titik ke titik pada dimensi tiga
Panjang PB = \frac{1}{2} \cdot 6 = 3 cm dengan menggunakan rumus phytagoras, kita akan peroleh nilai AP seperti terlihat pada cara berikut.
  \[ AP = \sqrt{6^{2} + 3^{2}} \]
  \[ = \sqrt{36 + 9} \]
  \[ = \sqrt{45} \]
  \[ = \sqrt{9 \cdot 5} \]
  \[ = \sqrt{9} \cdot \sqrt{5} \]
  \[ = 3\sqrt{5} \]
Jawaban: D

 Lebih jelasnya perhatikan video jarak dua titik berikut:

2. jarak antara Titik dan Garis
Jarak antara titik A ke garis g adalah panjang garis tegak lurus titik A ke garis g. Kita lakukan proyeksi titik A pada garis g terlebih dahulu. Tarik sebuah garis yang menghubungkan titik A pada garis g. Garis inilah yang menjadi jarak titik A ke garis g.
Untuk lebih jelasnya perhatikan gambar di bawah.
jarak titik ke garis
Proyeksi titik A pada garis g adalah A’
Berikutnya simak contoh soal jarak titik ke garis yang akan diberikan di bawah.
Contoh Soal dan Pembahasan Jarak Titik ke Garis
Diketahui kubus ABCD EFGH dengan panjang rusuk 6 cm. Jarak titik C ke garis FH adalah ….
A.     2 \sqrt{6}
B.     3 \sqrt{6}
C.     4 \sqrt{6}
D.     5 \sqrt{6}
E.     6 \sqrt{6}
Pembahasan:
Perhatikan gambar berikut!
contoh soal titik ke garis
Dengan mudah kita dapat mengetahui bahwa CH, CF, dan FH merupakan diagonal sisi. Sehingga dapat disimpulkan bahawa:
CH = CF = FH = diagonal sisi = 6 \sqrt{2} cm
Selanjutnya, perhatikan segitiga CFH yang terdapat pada bangun ruang diatas, jika segitiga CFH digambar ulang akan terlihat seperti gambar berikut.
contoh soal jarak titik ke garis pada dimensi tiga
Jarak C ke FH = CC’ adalah
  \[CF = \sqrt{\left( 6 \sqrt{2} \right)^{2} - \left( \frac{6}{2}\sqrt{2} \right)^{2}}\]
  \[ = \sqrt{ 72 - \left( \frac{36}{4} \cdot 2 \right)} \]
  \[ = \sqrt{ \frac{144}{2} - \frac{36}{2}}\]
  \[ = \sqrt{\frac{108}{2}} \]
  \[ = \frac{\sqrt{108}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} \]
  \[ = \frac{\sqrt{36 \cdot 3}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} \]
  \[ = \frac{\sqrt{36} \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} \]
  \[ = \frac{ 6 \sqrt{3}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} \]
  \[ = \frac{ 6 \sqrt{6}}{2} = 3 \sqrt{6} \]
Jadi, jarak titik C ke garis FH pada kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 6 cm adalah 3 \sqrt{6} cm.
Agar Mudah memahami, mari kita simak video jarak titik ke garis berikut ini:

3. Jarak antara Titik dan Bidang
Cara untuk menentukan jarak titik ke Bidang hampir sama dengan jarak titik ke garis. Langkah pertama yang harus dilakukan adalah melakukan proyeksi titik pada bidang terkait. Jarak titik ke bidang dinyatakan oleh jarak titik ke proyeksi titik pada bidang. Dengan kata lain dapat disimpulkan bahwa jarak antara titik A ke bidang \alpha adalah panjang garis tegak lurus dari titik A ke bidang \alpha.
Perhatikan gambar di bawah dapat menggambarkan ilustrasi di atas untuk lebih jelasnya.
jarak titik ke bidang pada dimensi tiga
Jarak titik A pada bidang \alpha sama dengan jarak AA’ dengan titik A’ merupakan titik proyeksi A pada bidang \alpha.
Sekarang, latih pemahaman sobat idschool melalui contoh soal jarak titik ke bidang yang akan diberikan di bawah.
Contoh Soal dan Pembahasan Jarak Titik ke Bidang
Sebuah kubus ABCD.EFGH mempunyai panjang rusuk 6 cm, maka jarak titik D terhadap bidang ACH adalah …. (SOAL UN MATEMATIKA IPA 2016)
A.     2 cm
B.     2\sqrt{3} cm
C.     3 cm
D.     3\sqrt{3} cm
E.     4\sqrt{3} cm

Pembahasan:
Berdasarkan keterangan pada soal, dapat diperoleh gambar di bawah.
Jarak titik D terhadap bidang ACH sama dengan jarak DD’ di mana D’ merupakan titik proyeksi D pada bidang ACH yang terletak pada garis HH’.
BD = diagonal bidang = 6 \sqrt{2} cm
Sehingga, 
\[ DH' = \frac{1}{2}BD = 3\sqrt{2} \]
\[ DH = 6 \; \textrm{cm} \]
Selanjutnya, 
\[ HH' = \sqrt{\textrm{DH}^{2} + \textrm{DH'}^{2}} \]  
\[ HH' = \sqrt{6^{2} + (3\sqrt{2})^{2}} \]
\[ HH' = \sqrt{ 36 + 18} \]
\[ HH' = \sqrt{54} \]
\[ HH' = \sqrt{9 \cdot 6} \]
\[ HH' = \sqrt{9} \cdot \sqrt{6} \]
\[ HH' = 3 \sqrt{6} \; \textrm{cm} \]
Untuk langkah selanjutnya perhatikan segitiga HDH’ (siku-siku di D)!
materi jarak pada dimensi tiga
Berdasarkan luas segitiga HDH’ akan diperoleh
\[\frac{1}{2} \cdot HH' \cdot DD' = \frac{1}{2} \cdot DH' \cdot DH \]
\[HH' \cdot DD' = DH' \cdot DH \]
\[ DD' = \frac{DH' \cdot DH}{HH'} \]
\[ DD' = \frac{3 \sqrt{2} \cdot 6}{3 \sqrt{6}} \]
\[ DD' = \frac{18 \sqrt{2}}{3 \sqrt{6}} \]
\[ DD' = \frac{6 \sqrt{2}}{ \sqrt{6}} \cdot \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}} \]
\[ DD' = \frac{6 \sqrt{2} \cdot \sqrt{6}}{ \sqrt{6} \cdot \sqrt{6}} \]
\[ DD' = \frac{6 \sqrt{12}}{ 6} \]
\[ DD' = \frac{6 \sqrt{4 \cdot 3}}{ 6} \]
\[ DD' = \frac{6 \cdot \sqrt{4} \cdot \sqrt{3}}{ 6} \]
\[ DD' = \sqrt{4} \cdot \sqrt{3} = 2 \sqrt{3} \; \textrm{cm} \]
Jadi, jarak D ke bidang ACH adalah 2 \sqrt{3} cm.
Jawaban: B

 Agar lebih mudah memahami, mari kita simak video tentang jarak titik ke bidang berikut ini:
4. Jarak antara Garis dan Garis
Jarak antara dua garis atau jarak garis ke garis adalah panjang ruas garis yang menghubungkan antara garis pertama dan garis kedua, di mana ruas garis tersebut tegak lurus dengan garis pertama dan garis kedua. Cara yang harus dilakukan adalah mengambil sebuah titik yang merupakan bagian dari garis pertama. Kemudian, proyeksikan titik tersebut pada garis kedua. Sekarang dua titik tersebut terhubung oleh sebuah garis yang tegak lurus. Garis inilah yang menyatakan jarak garis ke garis.
Secara lebih detailnya, sobat idschool dapat melihat pada gambar di bawah.
jarak garis ke garis pada materi jarak dimensi tiga
Langsung saja, mari kita simak contoh soal dan pembahasan jarak garis ke garis.
Contoh Soal dan Pembahasan Jarak Antara Dua Garis (Jarak garis ke garis)
Perhatikan gambar berikut!
contoh soal dimensi tiga jarak garis ke garis
Diketahui panjang rusuk kubus di atas adalah 10 cm. Titik P dan titik Q berturut-turut merupakan titik tengah dari rusuk AB dan BC. Jarak garis PQ ke garis EG adalah ….
  
\[ \textrm{A.} \; \; \; \frac{2}{5} \sqrt{6} \; \textrm{cm}\]
\[ \textrm{B.} \; \; \; \frac{3}{5} \sqrt{6} \; \textrm{cm}\]
\[ \textrm{C.} \; \; \; \frac{4}{5} \sqrt{6} \; \textrm{cm}\]
\[ \textrm{D.} \; \; \; \frac{3}{2} \sqrt{6} \; \textrm{cm}\]
\[ \textrm{E.} \; \; \; \frac{5}{2} \sqrt{6} \; \textrm{cm}\]

Pembahasan:
Perhatikan garis PQ dan garis EG!

contoh soal garis ke garis pada materi jarak pada dimensi tiga
Jarak garis PQ terhadap garis EG sama dengan jarak titik M ke titik N.
Sebelum menentukan panjang MN, kita perlu mengitung panjang beberapa ruas garis terlebih dahulu.
PB = QB = 5 cm (P dan Q merupakan titik tengah masing-masing rusuk)
Mencari panjang PQ:
Berdasarkan teorema Phytagoras, maka dapat diperoleh panjang PQ dengan cara berikut.
\[ PQ = \sqrt{BP^{2} + BQ^{2}} \]
\[ PQ = \sqrt{5^{2} + 5^{2}} \]
\[ PQ = \sqrt{25 + 25} \]
\[ PQ = \sqrt{50} \]
\[ PQ = \sqrt{25 \cdot 2} \]
\[ PQ = \sqrt{25} \cdot \sqrt{2} \] 
\[ PQ = 5 \sqrt{2} \; \textrm{cm} \]
Mencari panjang QN
\[ QN = \frac{1}{2} PQ\]
\[ QN = \frac{1}{2} \cdot 5\sqrt{2}\]
\[ QN = \frac{5}{2} \sqrt{2} \; \textrm{cm} \]
Mencari panjang BN:
Berdasarkan teorema pythagoras (segitiga siku-siku di N)
Sehingga,
\[ BN = \sqrt{BQ^{2} - QN^{2}}\]

\[ BN = \sqrt{5^{2} - \left( \frac{5}{2} \sqrt{2} \right)^{2}}\]

\[ BN = \sqrt{25 - \frac{25}{4} \cdot 2} \]
\[ BN = \sqrt{\frac{100}{4} - \frac{50}{4}} \]
\[ BN = \sqrt{\frac{50}{4}} \]\[ BN = \frac{\sqrt{50}}{\sqrt{4}} \] 
\[ BN = \frac{\sqrt{25 \cdot 2}}{2} \]

\[ BN = \frac{\sqrt{25} \cdot \sqrt{2}}{2} \]
\[ BN = \frac{5 \sqrt{2}}{2} \]
\[ BN = \frac{5}{2} \sqrt{2} \; \textrm{cm} \]
Mencari panjang FM:
FM merupakan setengah panjang diagonal sisi kubus (sisi EG), sehingga panjangnya adalah

\[FM = \frac{1}{2} \cdot 10\sqrt{2} = 5 \sqrt{2} \; \textrm{cm} \]
Ingat!!!
Panjang diagonal sisi kubus adalah \textrm{sisi} \sqrt{2}.
Panjang diagonal ruang kubus adalah \textrm{sisi} \sqrt{3}.

Selanjutnya perhatikan gambar berikut!
pembahasan contoh soal jarak garis ke garis
Mencari panjang MF’:  
\[ MF' = MF - BN\]
\[ MF' = 5 \sqrt{2} - \frac{5}{2} \sqrt{2} \]
\[ MF' = \frac{10}{2} \sqrt{2} - \frac{5}{2} \sqrt{2} \]
\[ MF' = \frac{5}{2} \sqrt{2} \textrm{cm} \]
Mencari Panjang MN:
\[MN = \sqrt{\textrm{MF'}^{2} + \textrm{NF'}^{2}} \]
\[MN = \sqrt{\left( \frac{5}{2} \sqrt{2} \right) ^{2} + 10^{2}} \]
\[MN = \sqrt{ \frac{25}{4} \cdot {2} + 100} \]

\[MN = \sqrt{ \frac{50}{4} + \frac{400}{4}} \]
\[MN = \sqrt{ \frac{450}{4}} \]

\[MN = \frac{\sqrt{450}}{\sqrt{4}} \]

\[MN = \frac{\sqrt{225 \cdot 2}}{2} \]
\[MN = \frac{{\sqrt{225} \cdot \sqrt{2}}}{2} \]

\[MN = \frac{{15\sqrt{2}}}{2} \]

\[MN = \frac{15}{2}\sqrt{6} \; \textrm{cm} \]
Jadi panjang garis MN dengan garis EG adalah \frac{15}{2} \sqrt{2} cm.
Jawaban: E
5. Jarak antara Garis dan Bidang
Jarak antara garis dan bidang merupakan jarak antara garis dengan garis proyeksinya pada bidang. Prinsip cara mencari jarak garis ke bidang hampir sama dengan mencari jarak garis ke garis. Bedanya, proyeksi pada jarak garis ke garis dilakukan antara garis ke garis, proyeksi garis ke bidang dilakukan antara garis ke bidang.
Untuk lebih jelasnya perhatikan gambar di bawah.
materi jarak pada dimensi tiga
Sekarang, langsung saja simak contoh soal jarak garis ke bidang yang akan diberikan di bawah.
Contoh soal dan Pembahasan Jarak Garis ke Bidang
Diketahui panjang rusuk kubus di atas adalah 6 cm. Titik K, titik L, titik M, dan titik N berturut-turut merupakan titik tengah dari rusuk AB, BC, EH, dan GH. Jarak garis KL ke bidang DMN adalah ….
A.     10 cm
B.     8 cm
C.     6 cm
D.     4 cm
E.     3 cm

Pembahasan:
Perhatikan gambar berikut!
materi matematika dimensi tiga
Keterangan:
Garis QR merupakan jarak antara bidang DMN dengan garis KL
DP tegak lurus dengan garis QR (karena QR adalah garis tinggi segitiga DQP)
KB = BL = \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} \cdot 6 = 3 cm

Perhatikan segitiga KLB!
materi jarak pada dimensi tiga

Mencari panjang KL:
Berdasarkan teorema pythagoras, maka dapat diperoleh panjang PQ dengan cara berikut.
\[ KL = \sqrt{BP^{2} + BQ^{2}} \]
\[ KL = \sqrt{3^{2} + 3^{2}} \]
\[ KL = \sqrt{9 + 9} \]
\[ KL = \sqrt{18} \]
\[ KL = \sqrt{9 \cdot 2} \]
\[ KL = \sqrt{9} \cdot \sqrt{2} \]
\[ KL = 3 \sqrt{2} \textrm{cm} \]
Panjang QL = \frac{1}{2} KL = \frac{1}{2} \cdot 3\sqrt{2} = \frac{3}{2} \sqrt{2} cm (karena BQ adalah garis tinggi dan garis berat segitiga KLB).
Mencari panjang HP:
Berdasarkan teorema pythagoras maka dapat diperoleh persamaan di bawah.
\[ BQ = \sqrt{BQ^{2} - QN^{2}}\]

\[ BQ = \sqrt{3^{2} - \left( \frac{3}{2} \sqrt{2} \right)^{2}}\]

\[ BQ = \sqrt{9 - \frac{9}{4} \cdot 2} \]
\[ BQ = \sqrt{\frac{36}{4} - \frac{18}{4}} \]

\[ BQ = \sqrt{\frac{18}{4}} \]

\[ BQ = \frac{\sqrt{18}}{\sqrt{4}} \]
\[ BQ = \frac{\sqrt{9 \cdot 2}}{2} \]
\[ BQ = \frac{\sqrt{9} \cdot \sqrt{2}}{2} \]

\[ BQ = \frac{3 \sqrt{2}}{2} \]
\[ BQ = \frac{3}{2} \sqrt{2} \textrm{cm} \]
Panjang HP = BQ = \frac{3}{2} \sqrt{2} cm
Mencari Panjang DQ:
\[DQ = DB - BQ \]
\[DQ = 6 \sqrt{2} - \frac{3}{2} \sqrt{2} \]
\[DQ = \frac{12}{2} \sqrt{2} - \frac{3}{2} \sqrt{2} \]
\[DQ = \frac{9}{2} \sqrt{2} \]

Perhatikan gambar berikut!
jarak garis ke bidang pada materi jarak pada dimensi tiga

Mencari panjang PF:
Sebelumnya, cari panjang HF terlebih dahulu, HF = diagonal sisi = 6 \sqrt{2}. 
\[ PF' = HF - FF' - HP \]
\[ PF' = 6\sqrt{2} - \frac{3}{2} \sqrt{2} - \frac{3}{2} \sqrt{2} \]
\[ PF' = 6\sqrt{2} - \frac{6}{2} \sqrt{2} \]
\[ PF' = 6 \sqrt{2} - 3 \sqrt{2} \]
\[ PF' = 3 \sqrt{2} \; \textrm{cm} \]

Mencari panjang PQ:
\[PQ = \sqrt{\textrm{PF'}^{2} + \textrm{QF'}^{2}} \]
\[PQ = \sqrt{(3 \sqrt{2})^{2} + 6^{2}} \]
\[PQ = \sqrt{9 \cdot 2 + 36} \]
\[PQ = \sqrt{18 + 36} \]
\[PQ = \sqrt{54} \]
\[PQ = \sqrt{9 \cdot 6} \]
\[PQ = \sqrt{9} \cdot \sqrt{6} \]
\[PQ = 3 \sqrt{6} \]
Perhatikan kembali gambar berikut!
contoh soal dan pembahasan dimensi tiga

Mencari panjang DP:
\[ DP = \sqrt{\textrm{HP}^{2} + \textrm{HD}^{2}}\]
\[ DP = \sqrt{ \left( \frac{3}{2} \sqrt{2} \right)^{2} + 6^{2}}\]

\[ DP = \sqrt{ \frac{9}{4} \cdot 2 + 36} \]
\[ DP = \sqrt{ \frac{18}{4} + \frac{144}{4}} \]
\[ DP = \sqrt{ \frac{162}{4}} \]
\[ DP = \frac{\sqrt{162}}{\sqrt{4}} \]
\[ DP = \frac{\sqrt{81 \cdot 2}}{2} \]
\[ DP = \frac{\sqrt{81} \cdot \sqrt{2}}{2} \]
\[ DP = \frac{9 \sqrt{2}}{2} \]
\[ DP = \frac{9}{2} \sqrt{2} \textrm{ cm}\]

Selanjutnya perhatikan gambar berikut!
mencari jarak garis ke bidang pada dimensi tiga

Mencari panjang DO: 
\[\textrm{DO} = \sqrt{\textrm{DQ}^{2} - \textrm{QO}^{2}} \]
\[\textrm{DO} = \sqrt{ \left( \frac{9}{2} \sqrt{2} \right)^{2} - \left( \frac{3}{2} \sqrt{6} \right)^{2}} \]

\[\textrm{DO} = \sqrt{ \frac{81}{4} \cdot 2 - \frac{9}{4} \cdot 6 } \]
\[\textrm{DO} = \sqrt{ \frac{162}{4} - \frac{54}{4} } \]
\[\textrm{DO} = \sqrt{ \frac{108}{4} } \]
\[\textrm{DO} = \frac{\sqrt{108}}{\sqrt{4}} \]
\[\textrm{DO} = \frac{\sqrt{36 \cdot 3}}{2} \]
\[\textrm{DO} = \frac{\sqrt{36} \cdot \sqrt{3}}{2} \]
\[\textrm{DO} = \frac{6 \sqrt{3} }{2} \]
\[\textrm{DO} = 3 \sqrt{3} \; \textrm{cm} \]

Mencari panjang QR:
Berdasarkan luas segitiga akan diperoleh hasil dari QR seperti terlihat pada cara berikut.

\[ \frac{1}{2} \cdot PD \cdot QR = \frac{1}{2} \cdot PQ \cdot DO \]
\[ PD \cdot QR = PQ \cdot DO \]
\[ QR = \frac{PQ \cdot DO}{PD} \]
\[ QR = \frac{3 \sqrt{6} \cdot 3 \sqrt{3} }{\frac{9}{2} \sqrt{2}} \]
\[ QR = \frac{9 \sqrt{18} }{\frac{9}{2} \sqrt{2}} \]
\[ QR = \frac{9 \sqrt{9 \cdot 2} }{\frac{9}{2} \sqrt{2}} \]
\[ QR = \frac{9 \cdot \sqrt{9} \cdot \sqrt{2}}{\frac{9}{2} \sqrt{2}} \]
\[ QR = \frac{9 \cdot 3\sqrt{2}}{\frac{9}{2} \sqrt{2}} \]
\[ QR = \frac{27 \sqrt{2}}{\frac{9}{2} \sqrt{2}} \]
\[ QR = \frac{27}{\frac{9}{2}} \]
\[ QR = 27 \cdot {\frac{2}{9}} \]
\[ QR = \frac{54}{9} = 6 \; \textrm{cm} \]

Jadi jarak garis PQ ke bidang DRS adalah QR = 6 cm.
Jawaban: C

6. Jarak antara Bidang dan Bidang
Jarak antara dua bidang atau jarak bidang ke bidang adalah panjang ruas garis yang saling tegak lurus pada kedua bidang tersebut. Sama seperti pembahasan sebelumnya, sobat idschool perlu melakukan proyeksi titik yang merupakan bagian dari satu bidang ke titik lain yang merupakan bagian dari bidang ke dua.
Sehingga, jika kedua titik tersebut ditarik garis lurus akan saling tegak lurus dengan kedua bidang. Untuk lebih jelasnya, perhatikan gambar di bawah.
jarak bidang ke bidang pada dimensi tiga
Berikut ini akan diberikan contoh soal bidang ke bidang.
Contoh Soal dan Pembahasan Jarak Bidang ke Bidang

Diketahui panjang sebuah rusuk kubus adalah 8 cm. Titik P, titik Q, titik R, dan titik S berturut-turut merupakan titik tengah dari rusuk AB, BC, EH, dan HG. Jarak bidang FPQ ke bidang DRS adalah ….

A.     16 cm

B.     14 cm

C.     12 cm

D.     10 cm

E.     8 cm

Pembahasan:
Berdasarkan keterangan pada soal dapat diperoleh gambar dengan keterangan seperti terlihat pada gambar di bawah.
contoh soal jarak bidang ke bidang pada dimensti tiga
Jarak bidang FPQ ke bidang DRS sama dengan jarak titik ML. Sebelum menentukan nilai ML diperlukan beberapa langkah perhitungan terlebih dahulu seperti langkah-langkah berikut.
Menghitung panjang PQ:

PB = BQ =\frac{1}{2} \cdot panjang rusuk kubus = \frac{1}{2} \cdot 8 = 4 cm

Sehingga, diperoleh persamaan PQ seperti di bawah.

  
\[PQ = \sqrt{\textrm{BP}^{2} + \textrm{BQ}^{2}} \]
\[PQ = \sqrt{4^{2} + 4^{2}} \]
\[PQ = \sqrt{16 + 16} \]
\[PQ = \sqrt{16 \cdot 2} \]
\[PQ = \sqrt{16} \cdot \sqrt{2} \]
\[PQ = 4 \sqrt{2} \]

Segitiga PBQ adalah segitiga sama kaki, sehingga BM merupakan garis tingg dan garis berat garis PQ. Jadi PM = MQ =\frac{1}{2}PQ = \frac{1}{2} \cdot 4 \sqrt{2} = 2 \sqrt{2} cm.
Mencari panjang BM (Perhatikan segitiga BMQ siku-siku di M):
\[BM = \sqrt{BQ^{2} - QM^{2}} \]
\[BM = \sqrt{4^{2} - (2 \sqrt{2})^{2}} \]
\[BM = \sqrt{16 - 4 \cdot 2} \]
\[BM = \sqrt{16 - 8} \]
\[BM = \sqrt{8} \]
\[BM = \sqrt{4 \cdot 2} \]
\[BM = \sqrt{4} \cdot \sqrt{2} = 2 \sqrt{2} \textrm{ cm}\]
Mencari panjang FM (Perhatikan segitiga FBM siku-siku di B):
\[FM = \sqrt{\textrm{BM}^{2} + \textrm{BF}^{2}} \]
\[FM = \sqrt{(2 \sqrt{2})^{2} + 8^{2}} \]
\[FM = \sqrt{4 \cdot 2 + 64} \]
\[FM = \sqrt{8 + 64} \]
\[FM = \sqrt{72} \]
\[FM = \sqrt{36 \cdot 2} \]
\[FM = \sqrt{36} \cdot \sqrt{2} = 6 \sqrt{2} \textrm{ cm} \]
Mencari panjang BD:

BD = diagonal sisi = \textrm{sisi} \sqrt{2} = 8 \sqrt{2} \textrm{ cm}

Mencari Panjang DM:
  
\[DM = \textrm{BD} - \textrm{BM} \] 
\[DM = 8 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} \]
\[DM = 6 \sqrt{2} \textrm{ cm} \]
Perhatikan jajar genjang DMFK yang diambil dari gambar kubus sebelumnya.
materi jarak pada dimensi tiga
Keterangan:

DM = FK = 6 \sqrt{2} cm

DK = FM = 6 \sqrt{2} cm

TK = BF = 8 cm

Mencari panjang ML:
\[ \textrm{DK} \cdot \textrm{ML} = \textrm{DM} \cdot \textrm{KT} \]
\[ \textrm{ML} = \frac{\textrm{DM} \cdot \textrm{KT}}{\textrm{DK}} \]
\[ \textrm{ML} = \frac{ 6 \sqrt{2} \cdot 8}{6\sqrt{2}} \; = \; 8 \; \textrm{cm} \]
Jadi jarak bidang FPQ ke bidang DRS adalah 8 cm.

#matematika #ekoagustriswanto #ekoneindonesia #pendidikan #dimensitiga #matematikasmk #soalmatematika #bimbelmatematika #materimatematika #motivasipendidikan

Related Post

Diposting oleh di
Label: , , , ,

Tidak ada komentar:

Posting Komentar

Langganan: Posting Komentar (Atom)