Saat ini Ekoneindonesia akan mengajak para pemuda-pemuda hebat untuk bersama-sama mempelajari tentang "Materi Lengkap Persamaan Kuadrat". Adapan submateri pada materi lengkap persamaan kuadrat ini adalah sebagai berikut:
1. Pengertian Persamaan Kuadrat2. Cara Penyelesaian Persamaan Kuadrat
3. Menentukan Jenis Akar-akar Persamaan Kuadrat
5. Sifat-sifat Akar Persamaan Kuadrat
6. Menyusun Persamaan Kuadrat
1. Pengertian Persamaan Kuadrat
Bentuk umum persamaan kuadrat:
ax2 + bx + c = 0, a≠0 dan a,b,c elemen R
Dengan:
x adalah variabel dari persamaan kuadrat
a adalah koefisien x2
b adalah koefisien x
c adalah konstanta
Untuk mempermudah pengertian dari Persamaan kuadrat, mari sama-sama simak video berikut ini:
2. Cara Penyelesaian Persamaan Kuadrat
Ada 3 cara untuk menyelesaikan soal-soal yang berbentuk persamaan kuadrat yakni:
a. Memfaktorkan
ax2 + bx + c = 0, a≠0 dapat diuraikan menjadi: (x - x1) (x - x2) = 0
Untuk mempermudah dalam memahami cara pemyelesaian Persamaan Kuadrat dengan memfaktorkan, mari kita simak video berikut:
b. Menggunakan Rumus Kuadrat (Rumus abc)
Rumus untuk menentukan akar-akar persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0, a≠0 adalah:
Untuk membantu dalam memahami cara mencari akar persamaan kuadrat dengan rumus abc, mari kita simak video berikut:
Cara menyelesaikan persamaan kuadrat dengan melengkapkan kuadrat sempurna adalah dengan mengubah persamaan kuadrat menjadi bentuk kuadrat sempurna. Bentuk umum persamaan kuadrat berbentuk kuadrat sempurna adalah
(x+p)2 = q, dengan q > 0
Berikut adalah video tentang bagaimana cara menyelesaikan persamaan kuadrat dengan melengkapkan kuadrat sempurna:
3. Menentukan Jenis Akar-akar Persamaan Kuadrat
Jenis akar-akar persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 dapat ditentukan oleh nilai diskriminan D = b2 - 4ac
a. Kedua akar nyata dan berlainan (x1 ≠ x2) <=> D > 0
b. Kedua akar nyata dan sama (x1 = x2) <=> D = 0
c. Kedua akar tidak nyata (imaginer) <=> D < 0
d. D = k2, dengan k2= bilangan kuadrat sempurna kedua akar rasional
Untuk mempermudah memahami tentang jenis akar persamaan kuadrat mari simak video berikut ini:
Untuk mempermudah memahami tentang jenis akar persamaan kuadrat mari simak video berikut ini:
4. Jumlah dan Hasil Kali Akar-akar Persamaan Kuadrat
Untuk menghitung jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0, dengan a≠0 dapat dicari tanpa terlebih dahulu mencari akar-akarnya.
Dari rumus:
dapat diperoleh:
Rumus-rumus lain yang dapat digunakan adalah
b. Syarat mempunyai dua akar negatif
c. Syarat mempunyai dua akar berlainan tanda
e. Syarat mempunyai dua akar berkebalikan
1. Mengalikan faktor
Mengalikan faktor
(x + 1)(x − 3) = 0
x2 − 2x − 3 = 0
Menyusun jumlah dan hasil kali
x2 − (−1 + 3)x + (−1) 3 = 0
x2 − 2x − 3 = 0
Untuk mempermudah memahami tentang bagaimana menyusun persamaan kuadrat, mari kita simak video berikut:
Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh-contoh berikut.
Contoh 1
Jika akar-akar persamaan kuadrat adalah α dan β, tentukan persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya dan
Jawab :
Jumlah dan hasil kali akar-akar PK awal :
α + β = = = −2
αβ = = = −3
Misalkan p = α + 2 dan q = β + 2
Jumlah dan hasil akar-akar PK baru :
p + q = (α + 2) + (β + 2)
p + q = α + β + 4
p + q = −2 + 4
p + q = 2
pq = (α + 2) (β + 2)
pq = αβ + 2(α + β) + 4
pq = −3 + 2(−2) + 4
pq = −3
Susun persamaan kuadrat baru :
x2 − (p + q)x + pq = 0
x2 − 2x − 3 = 0
Contoh 2
Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya 3 kali akar-akar persamaan kuadrat adalah...
Jawab :
Jika dimisalkan akar-akar persamaan kuadrat awal adalah α dan β, maka jumlah dan hasil kali akar-akar PK awal adalah :
α + β = = = −5
αβ = = = 2
Misalkan p = 3α dan q = 3β
Jumlah dan hasil kali akar-akar PK baru :
p + q = 3α + 3β
p + q = 3(α + β)
p + q = 3(−5)
p + q = −15
pq = 3α . 3β
pq = 9 αβ
pq = 9 (2)
pq = 18
Susun persamaan kuadrat baru :
x2 − (p + q)x + pq = 0
x2 − (−15)x + 18 = 0
x2 + 15x + 18 = 0
Contoh 3
Jika akar-akar persamaan kuadrat adalah x1 dan x2, maka persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya dan adalah ...
Jawab :
Jumlah dan hasil kali akar-akar PK awal :
x1 + x2 = = = 3
x1 x2 = = = 2
Misalkan p = dan q =
Jumlah dan hasil kali akar-akar PK baru :
p + q =
p + q =
p + q =
pq =
pq =
pq =
Susun persamaan kuadrat baru :
x2 − (p + q)x + pq = 0
x2 − x + = 0 ×2
2x2 − 3x + 1 = 0
Contoh 4
Jika akar-akar persamaan kuadrat adalah α dan β, tentukan persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya :
a. α + n dan β + n
b. α − n dan β − n
c. nα dan nβ
d. dan
Jawab :
(a). α + n dan β + n
α + β =
αβ =
Misalkan p = α + n dan q = β + n, akibatnya
p + q = (α + n) + (β + n)
p + q = α + β + 2n
p + q = + 2n
p + q =
pq = (α + n) (β + n)
pq = αβ + n(α + β) + n2
pq = + n + n2
pq =
Susun PK baru :
x2 − (p + q)x + pq = 0
x2 − x + = 0 (kali a)
ax2 − (−b + 2an)x + c − nb + an2 = 0
ax2 + bx − 2anx + c − nb + an2 = 0
ax2 − 2anx + an2 + bx − nb + c = 0
a(x2 − 2nx + n2) + b(x − n) + c = 0
a(x − n)2 + b(x − n) + c = 0
Jadi, Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya α + n dan β + n adalah
a(x - n)2 + b(x - n) + c = 0
Dengan cara yang sama, akan diperoleh :
(b). Untuk akar-akar α − n dan β − n :
a(x + n)2 + b(x + n) + c = 0
(c). Untuk akar-akar nα dan nβ :
ax2 + bnx + cn2 = 0
(d). Untuk akar-akar dan :
cx2 + bx + a = 0
Contoh 5
Jika akar-akar persamaan kuadrat adalah α dan β, tentukan persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya :
a. α + 2 dan β + 2
b. α − 1 dan β − 1
c. 4α dan 4β
d. dan
e. 2α − 1 dan 2β − 1
f. 1 − 4α dan 1 − 4β
g. dan
Petunjuk : Gunakan sifat pada contoh 4
Jawab :
PK awal : 2x2 + 3x + 1 = 0
(a). α + 2 dan β + 2
Kedua akar ditambah 2, maka PK baru :
2(x − 2)2 + 3(x − 2) + 1 = 0
2x2 − 8x + 8 + 3x − 6 + 1 = 0
2x2 − 5x + 3 = 0
(b). α − 1 dan β − 1
Kedua akar dikurang 1, maka PK baru :
2(x + 1)2 + 3(x + 1) + 1 = 0
2x2 + 2(4)x + 1(42) = 0
2x2 + 12x + 16 = 0
x2 + 6x + 8 = 0
(d). dan
Kedua akar dibalik, maka PK baru :
1x2 + 3x + 2 = 0
x2 + 3x + 2 = 0
(e). 2α − 1 dan 2β − 1
Kedua akar dikali 2 dan dikurang 1, maka PK baru :
2(x + 1)2 + 3(2)(x + 1) + 1(22) = 0
2x2 + 4x + 2 + 6x + 6 + 4 = 0
2x2 + 10x + 12 = 0
x2 + 5x + 6 = 0
(f). 1 − 4α dan 1 − 4β
Kedua akar dikali −4 dan ditambah 1, maka PK baru :
2(x − 1)2 + 3(-4)(x − 1) + 1(−4)2 = 0
2x2 − 4x + 2 − 12x + 12 + 16 = 0
2x2 − 16x + 30 = 0
x2 − 8x + 15 = 0
(g). dan
Kedua akar dikali −2 dan dibalik, maka PK baru :
1x2 + 3(-2)x + 2(−2)2 = 0
x2 − 6x + 8 = 0
Untuk mempermudah dalam mempelajari tentang bagaimana menyusun persamaan kuadrat baru, mari kita simak video berikut ini:
Dari rumus:
x1 + x2 =-b/a dan x1.x2 = c/a
Rumus-rumus lain yang dapat digunakan adalah
Untuk memahami tentang Jumlah dan hasil kali persamaan kuadrat, mari sama-sama kita lihat video berikut ini:
5. Sifat-Sifat Akar Persamaan Kuadrat
Jika x1 dan x2 adalah akar-akar persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0, a≠0 maka berlaku sifat-sifat berikut ini:
a. Syarat mempunyai dua akar positif
Jika x1 dan x2 adalah akar-akar persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0, a≠0 maka berlaku sifat-sifat berikut ini:
a. Syarat mempunyai dua akar positif
b. Syarat mempunyai dua akar negatif
c. Syarat mempunyai dua akar berlainan tanda
d. Syarat mempunyai dua akar berlawanan
e. Syarat mempunyai dua akar berkebalikan
6. Menyusun Persamaan Kuadrat
Jika akar-akar suatu persamaan kuadrat adalah p dan q, maka persamaan kuadrat tersebut dapat disusun dengan cara :
1. Mengalikan faktor
(x - p)(x - q) = 0
2. Menyusun jumlah dan hasil kalix2 − (p + q)x + pq = 0
Sebagai contoh, jika akar-akar suatu persamaan kuadrat adalah −1 dan 3, maka persamaan kuadrat tersebut dapat ditentukan dengan cara sebagai berikut.Mengalikan faktor
(x + 1)(x − 3) = 0
x2 − 2x − 3 = 0
Menyusun jumlah dan hasil kali
x2 − (−1 + 3)x + (−1) 3 = 0
x2 − 2x − 3 = 0
Untuk mempermudah memahami tentang bagaimana menyusun persamaan kuadrat, mari kita simak video berikut:
Menyusun Persamaan Kuadrat Baru
Jika akar-akar persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 adalah α dan β, maka persamaan kuadrat baru yang jumlah dan hasil kali akar-akarnya dapat dinyatakan dalam α + β dan/atau αβ dapat disusun dengan cara :- Tentukan jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat awal.
- Tentukan jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat baru.
- Susun jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat baru. Misalkan akar-akar persamaan kuadrat baru adalah p dan q, maka
Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh-contoh berikut.
Contoh 1
Jika akar-akar persamaan kuadrat adalah α dan β, tentukan persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya dan
Jawab :
Jumlah dan hasil kali akar-akar PK awal :
α + β = = = −2
αβ = = = −3
Misalkan p = α + 2 dan q = β + 2
Jumlah dan hasil akar-akar PK baru :
p + q = (α + 2) + (β + 2)
p + q = α + β + 4
p + q = −2 + 4
p + q = 2
pq = (α + 2) (β + 2)
pq = αβ + 2(α + β) + 4
pq = −3 + 2(−2) + 4
pq = −3
Susun persamaan kuadrat baru :
x2 − (p + q)x + pq = 0
x2 − 2x − 3 = 0
Contoh 2
Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya 3 kali akar-akar persamaan kuadrat adalah...
Jawab :
Jika dimisalkan akar-akar persamaan kuadrat awal adalah α dan β, maka jumlah dan hasil kali akar-akar PK awal adalah :
α + β = = = −5
αβ = = = 2
Misalkan p = 3α dan q = 3β
Jumlah dan hasil kali akar-akar PK baru :
p + q = 3α + 3β
p + q = 3(α + β)
p + q = 3(−5)
p + q = −15
pq = 3α . 3β
pq = 9 αβ
pq = 9 (2)
pq = 18
Susun persamaan kuadrat baru :
x2 − (p + q)x + pq = 0
x2 − (−15)x + 18 = 0
x2 + 15x + 18 = 0
Jika akar-akar persamaan kuadrat adalah x1 dan x2, maka persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya dan adalah ...
Jawab :
Jumlah dan hasil kali akar-akar PK awal :
x1 + x2 = = = 3
x1 x2 = = = 2
Misalkan p = dan q =
Jumlah dan hasil kali akar-akar PK baru :
p + q =
p + q =
p + q =
pq =
pq =
pq =
x2 − (p + q)x + pq = 0
x2 − x + = 0 ×2
2x2 − 3x + 1 = 0
Contoh 4
Jika akar-akar persamaan kuadrat adalah α dan β, tentukan persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya :
a. α + n dan β + n
b. α − n dan β − n
c. nα dan nβ
d. dan
Jawab :
(a). α + n dan β + n
α + β =
αβ =
Misalkan p = α + n dan q = β + n, akibatnya
p + q = (α + n) + (β + n)
p + q = α + β + 2n
p + q = + 2n
p + q =
pq = (α + n) (β + n)
pq = αβ + n(α + β) + n2
pq = + n + n2
pq =
Susun PK baru :
x2 − (p + q)x + pq = 0
x2 − x + = 0 (kali a)
ax2 − (−b + 2an)x + c − nb + an2 = 0
ax2 + bx − 2anx + c − nb + an2 = 0
ax2 − 2anx + an2 + bx − nb + c = 0
a(x2 − 2nx + n2) + b(x − n) + c = 0
a(x − n)2 + b(x − n) + c = 0
Jadi, Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya α + n dan β + n adalah
a(x - n)2 + b(x - n) + c = 0
Dengan cara yang sama, akan diperoleh :
(b). Untuk akar-akar α − n dan β − n :
a(x + n)2 + b(x + n) + c = 0
(c). Untuk akar-akar nα dan nβ :
ax2 + bnx + cn2 = 0
(d). Untuk akar-akar dan :
cx2 + bx + a = 0
Contoh 5
Jika akar-akar persamaan kuadrat adalah α dan β, tentukan persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya :
a. α + 2 dan β + 2
b. α − 1 dan β − 1
c. 4α dan 4β
d. dan
e. 2α − 1 dan 2β − 1
f. 1 − 4α dan 1 − 4β
g. dan
Petunjuk : Gunakan sifat pada contoh 4
Jawab :
PK awal : 2x2 + 3x + 1 = 0
(a). α + 2 dan β + 2
Kedua akar ditambah 2, maka PK baru :
2(x − 2)2 + 3(x − 2) + 1 = 0
2x2 − 8x + 8 + 3x − 6 + 1 = 0
2x2 − 5x + 3 = 0
(b). α − 1 dan β − 1
Kedua akar dikurang 1, maka PK baru :
2(x + 1)2 + 3(x + 1) + 1 = 0
2x2 + 4x + 2 + 3x + 3 + 1 = 0
2x2 + 7x + 6 = 0
2x2 + 7x + 6 = 0
(c). 4α dan 4β
Kedua akar dikali 4, maka PK baru :2x2 + 2(4)x + 1(42) = 0
2x2 + 12x + 16 = 0
x2 + 6x + 8 = 0
(d). dan
Kedua akar dibalik, maka PK baru :
1x2 + 3x + 2 = 0
x2 + 3x + 2 = 0
(e). 2α − 1 dan 2β − 1
Kedua akar dikali 2 dan dikurang 1, maka PK baru :
2(x + 1)2 + 3(2)(x + 1) + 1(22) = 0
2x2 + 4x + 2 + 6x + 6 + 4 = 0
2x2 + 10x + 12 = 0
x2 + 5x + 6 = 0
(f). 1 − 4α dan 1 − 4β
Kedua akar dikali −4 dan ditambah 1, maka PK baru :
2(x − 1)2 + 3(-4)(x − 1) + 1(−4)2 = 0
2x2 − 4x + 2 − 12x + 12 + 16 = 0
2x2 − 16x + 30 = 0
x2 − 8x + 15 = 0
(g). dan
Kedua akar dikali −2 dan dibalik, maka PK baru :
1x2 + 3(-2)x + 2(−2)2 = 0
x2 − 6x + 8 = 0
Untuk mempermudah dalam mempelajari tentang bagaimana menyusun persamaan kuadrat baru, mari kita simak video berikut ini:
Related Post
- Prakarsa Perubahan : Peningkatan Public Speaking untuk Penguatan Kemandirian Peserta Didik
- TRANSFORMASI PENDIDIKAN INDONESIA: PERAN SMK
- Mudah Memahami Materi Logika Matematika (Penarikan Kesimpulan)
- Mudah Memahami Materi Logika Matematika (Ingkaran Pernyataan Majemuk)
- Cepat Memahami Materi Logika Matematika (Pernyataan Berkuantor)
- Cepat Memahami Materi Logika Matematika (Ekuivalensi, Tautologi, Kontradiksi dan Kontingensi)
- Cepat Memahami Materi Logika Matematika (Ekuivalensi, Tautologi, Kontradiksi dan Kontingensi)
- Buku Prakarsa Perubahan Eko Agus Triswanto
- Kupas Tuntas Materi Logika Matematika Plus Full Video
- Soal-soal Materi Dimensi Tiga SMK
- Materi Tiga Dimensi SMK (Part 2 Jarak Pada Ruang)
- Materi Tiga Dimensi SMK (Bagian Daftar Materi)
- Cepat Memahami Materi Logika Matematika (Negasi, Konjungsi, Disjungsi, Implikasi dan Biimplikasi)
- Psikologi Pembelajaran untuk Generasi Z: Pendekatan yang Relevan di Era Digital
- Filsafat dalam Kurikulum Pendidikan di Indonesia
Moch Ardiansyah
BalasHapus11 KKB A
NO ABSEN 15
Kevin rizki darmawan(14)
BalasHapus11 KKB A
Prasojo setyo utomo
BalasHapus11 KKB A
Absen : 26
Muhammmad rizal saputra
BalasHapus11 KKB A
Absen:19
Refandi Alan Syahputra
BalasHapus11 KKB-A
Absen : 26
Maaf,maksutnya absen 27
HapusBaharudin Syehans
BalasHapus11 KKB A
Absen 06
Nama: Wahyu Efendi
BalasHapusKelas:11 KKB A
Absen:33
Satria Puji Darmawan
BalasHapus11 KKB A
Absen 29
Komentar ini telah dihapus oleh pengarang.
BalasHapusNama:Wisnu Prima Atmaja
BalasHapusKls:11 KKB A
Absen 34
Komentar ini telah dihapus oleh pengarang.
BalasHapusNama:Sultan Raihan Rifki
BalasHapusKelas :KKB-A
Absen:30
Dieto marcellino fakhrudin
BalasHapus11 KKB A
Absen 29
Maksud saya absen 07
HapusUffras aryaanggara
BalasHapus11 KKB–A
ABSEN 31
Abednego louis V.A
BalasHapus11 KKB A
ABSEN 01
Uffras aryaanggara
BalasHapus11 KKB–A
ABSEN 31
Uffras aryaanggara
BalasHapus11 KKB–A
ABSEN 31
Komentar ini telah dihapus oleh pengarang.
BalasHapusNama :Muhammad Verry Ardiansyah
BalasHapusKelas:11 KKB-A
Absen:20
Nama: MOCK VERDY PRASETIYO
BalasHapusKelas: 11 KKB-A
Absen: 18
Moch firmansyah
BalasHapusNama:frandi maulana
BalasHapusKelas:11 KKB-A
Absen:10
Komentar ini telah dihapus oleh pengarang.
BalasHapusNama : ZaenalKarimFr
BalasHapusKelas : 11 KKB A
Absen: 35
Nama:moch firmansyah
BalasHapusKelas:11 KKB-A
absen:17
nama:aditya ferdiansyah
BalasHapusKelas:11 KKB-A
absen:4
Nama:Adam Muhammad
BalasHapusKelas:11 KKB A
Absen :2
NAMA:ADI RIZKI
BalasHapusKELAS:11 KKB-A
ABSEN:03
Nama:Muhammad Zainudin
BalasHapusKelas:11 KKB A
Absen:21
NAMA:FATHUR ROZI
BalasHapusKELAS:XI KKB A
NO.ABSEN:09
Alan Ngantung
BalasHapus11 KKB-A
ABSEN:5
Nama:hidayatul maghfiroh
BalasHapusKelas: 11 KKB A
Absen: 11
Jouvan Arbima
BalasHapusXI KKB A
absen:13
Nasrul isla
BalasHapusXI KKB A
Absen:23
RezaAlief
BalasHapusXI KKB A
Absen:28
Iffah Salsabila
BalasHapus11 KKB.A
Absen 12
Oik Robiansyah
BalasHapus11 KKB B
Absen 25
Sahrul Andri Prasetyo
BalasHapus11 KKB.B
Absen 28
Muhammad Raykhan Sehatta
BalasHapus11 KKB B
Absen 22
Yosep Olaman Balawanga
Hapus11 KKB B
Absen 32
Jasmyne ayuralya suryamaharani
BalasHapusXI KKB B
absen 14
Fara dilla nur aulia r
BalasHapusXI KKB B / 11
nama:nanda tanjung pratama
BalasHapusKelas:11 kkb b
Absen 24
M.Rizal Asqi E
BalasHapusAch Risky F
BalasHapusXI KKB B
Absen 01
Moch Rudi
BalasHapusKls=11 KKB B
ABSEN =18
Komentar ini telah dihapus oleh pengarang.
BalasHapusKomentar ini telah dihapus oleh pengarang.
BalasHapusAditua Rizky Fauzi
BalasHapus11 KKB B
ABSEN 2
ILHAM AFIFUDIN
BalasHapus11 KKB-B
Absen 13
Mochamad Adhimas Abhimata
BalasHapusXI KKBB / 11
Absen 19
M.Rizal Asqi E
BalasHapus11 KKB.B
23
Erwin nugraha
BalasHapus11 KKB B
ABSEN 10
Yosep olaman balawanga
BalasHapus11 KKB B
Absen 32
Komentar ini telah dihapus oleh pengarang.
BalasHapusDayat
BalasHapusXI KKB-B
absen 8
Alex ander palen.
BalasHapus11 KKB-B
Absen 5
Muhammad Farhan Alaudin
BalasHapus11 KKB B
Absen 20
Sultan rafi juliansyah
BalasHapusXI KKB-B
Absen 30
M.Rafi Al Fathoni
BalasHapusXI KKB B
16
Ahmad Nanda Zaki A
BalasHapus11 KKB.B
04
Tri wahyu nurjannah
BalasHapus11 kkb b
Absen 31
Bima Dwi Nugroho
BalasHapusXI KKB B
8
Aril cahyadi
BalasHapusXI KKB B
06
M.Alfun.N
BalasHapusXI KKB B
Absen 21
Aditya Surya Putra
BalasHapusXI KKB B
absen o3
Aditya Surya Putra
BalasHapusXI KKB B
absen o3