Materi Persamaan Kuadrat Untuk SMA/SMK

PERSAMAAN KUADRAT

Oleh: Eko Agus Triswanto

Salam Pendidikan Indonesia.

Saat ini Ekoneindonesia akan mengajak para pemuda-pemuda hebat untuk bersama-sama mempelajari tentang "Materi Lengkap Persamaan Kuadrat". Adapan submateri pada materi lengkap persamaan kuadrat ini adalah sebagai berikut:

1. Pengertian Persamaan Kuadrat
2. Cara Penyelesaian Persamaan Kuadrat
3. Menentukan Jenis Akar-akar Persamaan Kuadrat

4. Jumlah dan Hasil Kali Akar-akar Persamaan Kuadrat
5. Sifat-sifat Akar Persamaan Kuadrat
6. Menyusun Persamaan Kuadrat

1. Pengertian Persamaan Kuadrat

Persamaan kuadrat adalah suatu persamaan yang pangkat tertinggi dari variabelnya adalah 2.
Bentuk umum persamaan kuadrat:

ax2 + bx + c = 0, a≠0 dan a,b,c elemen R

Dengan: 

x adalah variabel dari persamaan kuadrat 

a adalah koefisien x2

b adalah koefisien x

c adalah konstanta

Untuk mempermudah pengertian dari Persamaan kuadrat, mari sama-sama simak video berikut ini:

2. Cara Penyelesaian Persamaan Kuadrat
Ada 3 cara untuk menyelesaikan soal-soal yang berbentuk persamaan kuadrat yakni:
a. Memfaktorkan
    ax2 + bx + c = 0, a≠0 dapat diuraikan menjadi: (x - x1) (x - x2) = 0
Untuk mempermudah dalam memahami cara pemyelesaian Persamaan Kuadrat dengan memfaktorkan, mari kita simak video berikut:

b. Menggunakan Rumus Kuadrat (Rumus abc)
    Rumus untuk menentukan akar-akar persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0, a≠0 adalah:

Untuk membantu dalam memahami cara mencari akar persamaan kuadrat dengan rumus abc, mari kita simak video berikut:

c. Melengkapkan Kuadrat Sempurna
Cara menyelesaikan persamaan kuadrat dengan melengkapkan kuadrat sempurna adalah dengan  mengubah persamaan kuadrat menjadi bentuk kuadrat sempurna. Bentuk umum persamaan kuadrat berbentuk kuadrat sempurna adalah

(x+p)2 = q, dengan q > 0

Berikut adalah video tentang bagaimana cara menyelesaikan persamaan kuadrat dengan melengkapkan kuadrat sempurna:

3.  Menentukan Jenis Akar-akar Persamaan Kuadrat

Jenis akar-akar persamaan kuadrat  ax2 + bx + c = 0 dapat ditentukan oleh nilai diskriminan D = b2 - 4ac 

a. Kedua akar nyata dan berlainan (x1 ≠ x2)  <=> D > 0

b. Kedua akar nyata dan sama (x1 = x2) <=> D = 0

c. Kedua akar tidak nyata (imaginer) <=> D < 0

d. D = k2, dengan k2= bilangan kuadrat sempurna kedua akar rasional

Untuk mempermudah memahami tentang jenis akar persamaan kuadrat mari simak video berikut ini:

4. Jumlah dan Hasil Kali Akar-akar Persamaan Kuadrat

Untuk menghitung jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0, dengan a≠0 dapat dicari tanpa terlebih dahulu mencari akar-akarnya.
Dari rumus:

dapat diperoleh:

x1 + x2 =-b/a dan x1.x2 = c/a

Rumus-rumus lain yang dapat digunakan adalah

Untuk memahami tentang Jumlah dan hasil kali persamaan kuadrat, mari sama-sama kita lihat video berikut ini:

5. Sifat-Sifat Akar Persamaan Kuadrat
Jika x1 dan x2 adalah akar-akar persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0, a≠0 maka berlaku sifat-sifat berikut ini:

a. Syarat mempunyai dua akar positif

b. Syarat mempunyai dua akar negatif

c. Syarat mempunyai dua akar berlainan tanda

d. Syarat mempunyai dua akar berlawanan

 e. Syarat mempunyai dua akar berkebalikan

6. Menyusun Persamaan Kuadrat

Jika akar-akar suatu persamaan kuadrat adalah p dan q, maka persamaan kuadrat tersebut dapat disusun dengan cara :

1.  Mengalikan faktor

(x - p)(x - q) = 0

2.  Menyusun jumlah dan hasil kali

x² − (p + q)x + pq = 0

Sebagai contoh, jika akar-akar suatu persamaan kuadrat adalah −1 dan 3, maka persamaan kuadrat tersebut dapat ditentukan dengan cara sebagai berikut.

Mengalikan faktor
(x + 1)(x − 3) = 0
x² − 2x − 3 = 0

Menyusun jumlah dan hasil kali
x² − (−1 + 3)x + (−1) 3 = 0
x² − 2x − 3 = 0

Untuk mempermudah memahami tentang bagaimana menyusun persamaan kuadrat, mari kita simak video berikut: 

Menyusun Persamaan Kuadrat Baru

Jika akar-akar persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0 adalah α dan β, maka persamaan kuadrat baru yang jumlah dan hasil kali akar-akarnya dapat dinyatakan dalam α + β dan/atau αβ dapat disusun dengan cara :

1. Tentukan jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat awal.
2. Tentukan jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat baru. 
3. Susun jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat baru. Misalkan akar-akar persamaan kuadrat baru adalah p dan q, maka $$x^2-(p+q)x+pq=0$$

Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh-contoh berikut.

Contoh 1
Jika akar-akar persamaan kuadrat $x^2+2x-3=0$ adalah α dan β, tentukan persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya $\alpha +2$ dan $\beta +2$

Jawab :
Jumlah dan hasil kali akar-akar PK awal :
α + β = $-\frac{b}{a}$ = $-\frac{2}{1}$ = −2
αβ = $\frac{c}{a}$ = $\frac{-3}{1}$ = −3

Misalkan p = α + 2  dan  q = β + 2

Jumlah dan hasil akar-akar PK baru :
p + q = (α + 2) + (β + 2)
p + q = α + β + 4
p + q = −2 + 4
p + q = 2

pq = (α + 2) (β + 2)
pq = αβ + 2(α + β) + 4
pq = −3 + 2(−2) + 4
pq = −3

Susun persamaan kuadrat baru :
x² − (p + q)x + pq = 0
x² − 2x − 3 = 0


Contoh 2
Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya 3 kali akar-akar persamaan kuadrat $x^2+5x+2=0$ adalah...

Jawab :
Jika dimisalkan akar-akar persamaan kuadrat awal adalah α dan β, maka jumlah dan hasil kali akar-akar PK awal adalah :
α + β = $-\frac{b}{a}$ = $-\frac{5}{1}$ = −5
αβ = $\frac{c}{a}$ = $\frac{2}{1}$ = 2

Misalkan p = 3α  dan  q = 3β

Jumlah dan hasil kali akar-akar PK baru :
p + q = 3α + 3β
p + q = 3(α + β)
p + q = 3(−5)
p + q = −15

pq = 3α . 3β
pq = 9 αβ
pq = 9 (2)
pq = 18

Susun persamaan kuadrat baru :
x² − (p + q)x + pq = 0
x² − (−15)x + 18 = 0
x² + 15x + 18 = 0

Contoh 3
Jika akar-akar persamaan kuadrat $x^2-3x+2=0$ adalah x₁ dan x₂, maka persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya $\frac{1}{x_1}$ dan $\frac{1}{x_2}$ adalah ...

Jawab :
Jumlah dan hasil kali akar-akar PK awal :
x₁ + x₂ = $-\frac{b}{a}$ = $-\frac{(-3)}{1}$ = 3
x₁ x₂ = $\frac{c}{a}$ = $\frac{2}{1}$ = 2

Misalkan p = $\frac{1}{x_1}$  dan  q = $\frac{1}{x_2}$

Jumlah dan hasil kali akar-akar PK baru :
p + q = $\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}$
p + q = $\frac{x_1+x_2}{x_1{x}_2}$
p + q = $\frac{3}{2}$

pq = $\frac{1}{x_1}\cdot \frac{1}{x_2}$
pq = $\frac{1}{x_1{x}_2}$
pq = $\frac{1}{2}$

Susun persamaan kuadrat baru :
x² − (p + q)x + pq = 0
x² − $\frac{3}{2}$x + $\frac{1}{2}$ = 0    ×2
2x² − 3x + 1 = 0


Contoh 4
Jika akar-akar persamaan kuadrat $a{x}^2+bx+c=0$ adalah α dan β, tentukan persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya :
a.  α + n dan β + n
b.  α − n dan β − n
c.  nα dan nβ
d.  $\frac{1}{\alpha }$ dan $\frac{1}{\beta }$

Jawab :
(a).  α + n dan β + n

α + β = $-\frac{b}{a}$
αβ =  $\frac{c}{a}$

Misalkan p = α + n  dan  q = β + n, akibatnya
p + q = (α + n) + (β + n)
p + q = α + β + 2n
p + q = $-\frac{b}{a}$ + 2n
p + q = $\frac{-b+2an}{a}$

pq = (α + n) (β + n)
pq = αβ + n(α + β) + n²
pq = $\frac{c}{a}$ + n$\left(-\frac{b}{a}\right)$ + n²
pq = $\frac{c-nb+a{n}^2}{a}$

Susun PK baru :
x² − (p + q)x + pq = 0
x² − $\left(\frac{-b+2an}{a}\right)$x + $\frac{c-nb+a{n}^2}{a}$ = 0  (kali a)
ax² − (−b + 2an)x + c − nb + an² = 0
ax² + bx − 2anx + c − nb + an² = 0
ax² − 2anx + an² + bx − nb + c = 0
a(x² − 2nx + n²) + b(x − n) + c = 0
a(x − n)² + b(x − n) + c = 0

Jadi, Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya α + n dan β + n adalah
       a(x - n)² + b(x - n) + c = 0

Dengan cara yang sama, akan diperoleh :
(b). Untuk akar-akar α − n dan β − n :
       a(x + n)² + b(x + n) + c = 0

(c). Untuk akar-akar nα dan nβ :
       ax² + bnx + cn² = 0

(d). Untuk akar-akar $\frac{1}{\alpha }$ dan $\frac{1}{\beta }$ :
        cx² + bx + a = 0


Contoh 5
Jika akar-akar persamaan kuadrat $2x^2+3x+1=0$ adalah α dan β, tentukan persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya :
a.  α + 2 dan β + 2
b.  α − 1 dan β − 1
c.  4α dan 4β
d.  $\frac{1}{\alpha }$ dan $\frac{1}{\beta }$
e.  2α − 1 dan 2β − 1
f.  1 − 4α dan 1 − 4β
g.  $-\frac{2}{\alpha }$ dan $-\frac{2}{\beta }$
Petunjuk : Gunakan sifat pada contoh 4

Jawab :
PK awal : 2x² + 3x + 1 = 0

(a).  α + 2 dan β + 2
Kedua akar ditambah 2, maka PK baru :
2(x − 2)² + 3(x − 2) + 1 = 0
2x² − 8x + 8 + 3x − 6 + 1 = 0
2x² − 5x + 3 = 0

(b).  α − 1 dan β − 1
Kedua akar dikurang 1, maka PK baru :
2(x + 1)² + 3(x + 1) + 1 = 0

2x² + 4x + 2 + 3x + 3 + 1 = 0
2x² + 7x + 6 = 0

(c).  4α dan 4β

Kedua akar dikali 4, maka PK baru :
2x² + 2(4)x + 1(4²) = 0
2x² + 12x + 16 = 0
x² + 6x + 8 = 0

(d).  $\frac{1}{\alpha }$ dan $\frac{1}{\beta }$
Kedua akar dibalik, maka PK baru :
1x² + 3x + 2 = 0
x² + 3x + 2 = 0

(e).  2α − 1 dan 2β − 1
Kedua akar dikali 2 dan dikurang 1, maka PK baru :
2(x + 1)² + 3(2)(x + 1) + 1(2²) = 0
2x² + 4x + 2 + 6x + 6 + 4 = 0
2x² + 10x + 12 = 0
x² + 5x + 6 = 0

(f).  1 − 4α dan 1 − 4β
Kedua akar dikali −4 dan ditambah 1, maka PK baru :
2(x − 1)² + 3(-4)(x − 1) + 1(−4)² = 0
2x² − 4x + 2 − 12x + 12 + 16 = 0
2x² − 16x + 30 = 0
x² − 8x + 15 = 0

(g).  $-\frac{2}{\alpha }$ dan $-\frac{2}{\beta }$
Kedua akar dikali −2 dan dibalik, maka PK baru :
1x² + 3(-2)x + 2(−2)² = 0
x² − 6x + 8 = 0

Untuk mempermudah dalam mempelajari tentang bagaimana menyusun persamaan kuadrat baru, mari kita simak video berikut ini:

Related Post

• Materi Tiga Dimensi SMK (Bagian Daftar Materi)
• Cepat Memahami Materi Logika Matematika (Negasi, Konjungsi, Disjungsi, Implikasi dan Biimplikasi)
• Psikologi Pembelajaran untuk Generasi Z: Pendekatan yang Relevan di Era Digital
• Filsafat dalam Kurikulum Pendidikan di Indonesia
• Prakarsa Perubahan : Peningkatan Public Speaking untuk Penguatan Kemandirian Peserta Didik
• TRANSFORMASI PENDIDIKAN INDONESIA: PERAN SMK
• Mudah Memahami Materi Logika Matematika (Penarikan Kesimpulan)
• Mudah Memahami Materi Logika Matematika (Ingkaran Pernyataan Majemuk)
• Cepat Memahami Materi Logika Matematika (Pernyataan Berkuantor)
• Cepat Memahami Materi Logika Matematika (Ekuivalensi, Tautologi, Kontradiksi dan Kontingensi)
• Cepat Memahami Materi Logika Matematika (Ekuivalensi, Tautologi, Kontradiksi dan Kontingensi)
• Buku Prakarsa Perubahan Eko Agus Triswanto
• Kupas Tuntas Materi Logika Matematika Plus Full Video
• Soal-soal Materi Dimensi Tiga SMK
• Materi Tiga Dimensi SMK (Part 2 Jarak Pada Ruang)