Jumat, 01 November 2019

Materi Persamaan Kuadrat Untuk SMA/SMK

PERSAMAAN KUADRAT
Oleh: Eko Agus Triswanto
Salam Pendidikan Indonesia.
Saat ini Ekoneindonesia akan mengajak para pemuda-pemuda hebat untuk bersama-sama mempelajari tentang "Materi Lengkap Persamaan Kuadrat". Adapan submateri pada materi lengkap persamaan kuadrat ini adalah sebagai berikut:
1. Pengertian Persamaan Kuadrat
2. Cara Penyelesaian Persamaan Kuadrat
3. Menentukan Jenis Akar-akar Persamaan Kuadrat
4. Jumlah dan Hasil Kali Akar-akar Persamaan Kuadrat
5. Sifat-sifat Akar Persamaan Kuadrat
6. Menyusun Persamaan Kuadrat

1. Pengertian Persamaan Kuadrat
Persamaan kuadrat adalah suatu persamaan yang pangkat tertinggi dari variabelnya adalah 2.
Bentuk umum persamaan kuadrat:

ax2 + bx + c = 0, a≠0 dan a,b,c elemen R

Dengan: 
x adalah variabel dari persamaan kuadrat 
a adalah koefisien x2
b adalah koefisien x
c adalah konstanta
Untuk mempermudah pengertian dari Persamaan kuadrat, mari sama-sama simak video berikut ini:


2. Cara Penyelesaian Persamaan Kuadrat
Ada 3 cara untuk menyelesaikan soal-soal yang berbentuk persamaan kuadrat yakni:
a. Memfaktorkan
    ax2 + bx + c = 0, a≠0 dapat diuraikan menjadi: (x - x1) (x - x2) = 0
Untuk mempermudah dalam memahami cara pemyelesaian Persamaan Kuadrat dengan memfaktorkan, mari kita simak video berikut:

b. Menggunakan Rumus Kuadrat (Rumus abc)
    Rumus untuk menentukan akar-akar persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0, a≠0 adalah:
Untuk membantu dalam memahami cara mencari akar persamaan kuadrat dengan rumus abc, mari kita simak video berikut:


c. Melengkapkan Kuadrat Sempurna
Cara menyelesaikan persamaan kuadrat dengan melengkapkan kuadrat sempurna adalah dengan  mengubah persamaan kuadrat menjadi bentuk kuadrat sempurna. Bentuk umum persamaan kuadrat berbentuk kuadrat sempurna adalah

(x+p)2 = q, dengan q > 0
Berikut adalah video tentang bagaimana cara menyelesaikan persamaan kuadrat dengan melengkapkan kuadrat sempurna:


3.  Menentukan Jenis Akar-akar Persamaan Kuadrat
Jenis akar-akar persamaan kuadrat  ax2 + bx + c = 0 dapat ditentukan oleh nilai diskriminan D = b2 - 4ac 
a. Kedua akar nyata dan berlainan (x1 ≠ x2)  <=> D > 0
b. Kedua akar nyata dan sama (x1 = x2) <=> D = 0
c. Kedua akar tidak nyata (imaginer) <=> D < 0
d. D = k2, dengan k2= bilangan kuadrat sempurna kedua akar rasional

Untuk mempermudah memahami tentang jenis akar persamaan kuadrat mari simak video berikut ini:

4. Jumlah dan Hasil Kali Akar-akar Persamaan Kuadrat
Untuk menghitung jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0, dengan a≠0 dapat dicari tanpa terlebih dahulu mencari akar-akarnya.
Dari rumus:
dapat diperoleh:

x1 + x2 =-b/a dan x1.x2 = c/a

Rumus-rumus lain yang dapat digunakan adalah

Untuk memahami tentang Jumlah dan hasil kali persamaan kuadrat, mari sama-sama kita lihat video berikut ini:


5. Sifat-Sifat Akar Persamaan Kuadrat
Jika x1 dan x2 adalah akar-akar persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0, a≠0 maka berlaku sifat-sifat berikut ini:

a. Syarat mempunyai dua akar positif


b. Syarat mempunyai dua akar negatif


c. Syarat mempunyai dua akar berlainan tanda


d. Syarat mempunyai dua akar berlawanan


 e. Syarat mempunyai dua akar berkebalikan


6. Menyusun Persamaan Kuadrat
Jika akar-akar suatu persamaan kuadrat adalah p dan q, maka persamaan kuadrat tersebut dapat disusun dengan cara :

1.  Mengalikan faktor

(x - p)(x - q) = 0

2.  Menyusun jumlah dan hasil kali

x2 − (p + q)x + pq = 0

Sebagai contoh, jika akar-akar suatu persamaan kuadrat adalah −1 dan 3, maka persamaan kuadrat tersebut dapat ditentukan dengan cara sebagai berikut.

Mengalikan faktor
(x + 1)(x − 3) = 0
x2 − 2x − 3 = 0

Menyusun jumlah dan hasil kali
x2 − (−1 + 3)x + (−1) 3 = 0
x2 − 2x − 3 = 0

Untuk mempermudah memahami tentang bagaimana menyusun persamaan kuadrat, mari kita simak video berikut: 



Menyusun Persamaan Kuadrat Baru

Jika akar-akar persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 adalah α dan β, maka persamaan kuadrat baru yang jumlah dan hasil kali akar-akarnya dapat dinyatakan dalam α + β dan/atau αβ dapat disusun dengan cara :
  1. Tentukan jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat awal.
  2. Tentukan jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat baru. 
  3. Susun jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat baru. Misalkan akar-akar persamaan kuadrat baru adalah p dan q, maka x2(p+q)x+pq=0

Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh-contoh berikut.

Contoh 1
Jika akar-akar persamaan kuadrat x2+2x3=0 adalah α dan β, tentukan persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya α+2 dan β+2

Jawab :
Jumlah dan hasil kali akar-akar PK awal :
α + β = ba = 21 = −2
αβ = ca = 31 = −3

Misalkan p = α + 2  dan  q = β + 2

Jumlah dan hasil akar-akar PK baru :
p + q = (α + 2) + (β + 2)
p + q = α + β + 4
p + q = −2 + 4
p + q = 2

pq = (α + 2) (β + 2)
pq = αβ + 2(α + β) + 4
pq = −3 + 2(−2) + 4
pq = −3

Susun persamaan kuadrat baru :
x2 − (p + q)x + pq = 0
x2 − 2x − 3 = 0


Contoh 2
Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya 3 kali akar-akar persamaan kuadrat x2+5x+2=0 adalah...

Jawab :
Jika dimisalkan akar-akar persamaan kuadrat awal adalah α dan β, maka jumlah dan hasil kali akar-akar PK awal adalah :
α + β = ba = 51 = −5
αβ = ca = 21 = 2

Misalkan p = 3α  dan  q = 3β

Jumlah dan hasil kali akar-akar PK baru :
p + q = 3α + 3β
p + q = 3(α + β)
p + q = 3(−5)
p + q = −15

pq = 3α . 3β
pq = 9 αβ
pq = 9 (2)
pq = 18

Susun persamaan kuadrat baru :
x2 − (p + q)x + pq = 0
x2 − (−15)x + 18 = 0
x2 + 15x + 18 = 0


Contoh 3
Jika akar-akar persamaan kuadrat x23x+2=0 adalah x1 dan x2, maka persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya 1x1 dan 1x2 adalah ...

Jawab :
Jumlah dan hasil kali akar-akar PK awal :
x1 + x2 = ba = (3)1 = 3
x1 x2 = ca = 21 = 2

Misalkan p = 1x1  dan  q = 1x2

Jumlah dan hasil kali akar-akar PK baru :
p + q = 1x1+1x2
p + q = x1+x2x1x2
p + q = 32

pq = 1x11x2
pq = 1x1x2
pq = 12

Susun persamaan kuadrat baru :
x2 − (p + q)x + pq = 0
x2 − 32x + 12 = 0    ×2
2x2 − 3x + 1 = 0


Contoh 4
Jika akar-akar persamaan kuadrat ax2+bx+c=0 adalah α dan β, tentukan persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya :
a.  α + n dan β + n
b.  α − n dan β − n
c.  nα dan nβ
d.  1α dan 1β

Jawab :
(a).  α + n dan β + n

α + β = ba
αβ =  ca

Misalkan p = α + n  dan  q = β + n, akibatnya
p + q = (α + n) + (β + n)
p + q = α + β + 2n
p + q ba + 2n
p + q b+2ana

pq = (α + n) (β + n)
pq = αβ + n(α + β) + n2
pq ca + n(ba) + n2
pq cnb+an2a

Susun PK baru :
x2 − (p + q)x + pq = 0
x2 − (b+2ana)x + cnb+an2a = 0  (kali a)
ax2 − (−b + 2an)x + c − nb + an2 = 0
ax2 + bx − 2anx + c − nb + an2 = 0
ax2 − 2anx + an2 + bx − nb + c = 0
a(x2 − 2nx + n2) + b(x − n) + c = 0
a(x − n)2 + b(x − n) + c = 0

Jadi, Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya α + n dan β + n adalah
       a(x - n)2 + b(x - n) + c = 0

Dengan cara yang sama, akan diperoleh :
(b). Untuk akar-akar α − n dan β − n :
       a(x + n)2 + b(x + n) + c = 0

(c). Untuk akar-akar nα dan nβ :
       ax2 + bnx + cn2 = 0

(d). Untuk akar-akar 1α dan 1β :
        cx2 + bx + a = 0


Contoh 5
Jika akar-akar persamaan kuadrat 2x2+3x+1=0 adalah α dan β, tentukan persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya :
a.  α + 2 dan β + 2
b.  α − 1 dan β − 1
c.  4α dan 4β
d.  1α dan 1β
e.  2α − 1 dan 2β − 1
f.  1 − 4α dan 1 − 4β
g.  2α dan 2β
Petunjuk : Gunakan sifat pada contoh 4

Jawab :
PK awal : 2x2 + 3x + 1 = 0

(a).  α + 2 dan β + 2
Kedua akar ditambah 2, maka PK baru :
2(x − 2)2 + 3(x − 2) + 1 = 0
2x2 − 8x + 8 + 3x − 6 + 1 = 0
2x2 − 5x + 3 = 0

(b).  α − 1 dan β − 1
Kedua akar dikurang 1, maka PK baru :
2(x + 1)2 + 3(x + 1) + 1 = 0
2x2 + 4x + 2 + 3x + 3 + 1 = 0
2x2 + 7x + 6 = 0
(c).  4α dan 4β
Kedua akar dikali 4, maka PK baru :
2x2 + 2(4)x + 1(42) = 0
2x2 + 12x + 16 = 0
x2 + 6x + 8 = 0

(d).  1α dan 1β
Kedua akar dibalik, maka PK baru :
1x2 + 3x + 2 = 0
x2 + 3x + 2 = 0

(e).  2α − 1 dan 2β − 1
Kedua akar dikali 2 dan dikurang 1, maka PK baru :
2(x + 1)2 + 3(2)(x + 1) + 1(22) = 0
2x2 + 4x + 2 + 6x + 6 + 4 = 0
2x2 + 10x + 12 = 0
x2 + 5x + 6 = 0

(f).  1 − 4α dan 1 − 4β
Kedua akar dikali −4 dan ditambah 1, maka PK baru :
2(x − 1)2 + 3(-4)(x − 1) + 1(−4)2 = 0
2x2 − 4x + 2 − 12x + 12 + 16 = 0
2x2 − 16x + 30 = 0
x2 − 8x + 15 = 0

(g).  2α dan 2β
Kedua akar dikali −2 dan dibalik, maka PK baru :
1x2 + 3(-2)x + 2(2)2 = 0
x2 − 6x + 8 = 0

Untuk mempermudah dalam mempelajari tentang bagaimana menyusun persamaan kuadrat baru, mari kita simak video berikut ini:

Related Post

69 komentar:

  1. Moch Ardiansyah
    11 KKB A
    NO ABSEN 15

    BalasHapus
  2. Kevin rizki darmawan(14)
    11 KKB A

    BalasHapus
  3. Prasojo setyo utomo
    11 KKB A
    Absen : 26

    BalasHapus
  4. Muhammmad rizal saputra
    11 KKB A
    Absen:19

    BalasHapus
  5. Refandi Alan Syahputra
    11 KKB-A
    Absen : 26

    BalasHapus
  6. Baharudin Syehans
    11 KKB A
    Absen 06

    BalasHapus
  7. Nama: Wahyu Efendi
    Kelas:11 KKB A
    Absen:33

    BalasHapus
  8. Satria Puji Darmawan
    11 KKB A
    Absen 29

    BalasHapus
  9. Komentar ini telah dihapus oleh pengarang.

    BalasHapus
  10. Nama:Wisnu Prima Atmaja
    Kls:11 KKB A
    Absen 34

    BalasHapus
  11. Komentar ini telah dihapus oleh pengarang.

    BalasHapus
  12. Nama:Sultan Raihan Rifki
    Kelas :KKB-A
    Absen:30

    BalasHapus
  13. Dieto marcellino fakhrudin
    11 KKB A
    Absen 29

    BalasHapus
  14. Abednego louis V.A
    11 KKB A
    ABSEN 01

    BalasHapus
  15. Komentar ini telah dihapus oleh pengarang.

    BalasHapus
  16. Nama :Muhammad Verry Ardiansyah
    Kelas:11 KKB-A
    Absen:20

    BalasHapus
  17. Nama: MOCK VERDY PRASETIYO
    Kelas: 11 KKB-A
    Absen: 18

    BalasHapus
  18. Nama:frandi maulana
    Kelas:11 KKB-A
    Absen:10

    BalasHapus
  19. Komentar ini telah dihapus oleh pengarang.

    BalasHapus
  20. Nama : ZaenalKarimFr
    Kelas : 11 KKB A
    Absen: 35

    BalasHapus
  21. Nama:moch firmansyah
    Kelas:11 KKB-A
    absen:17

    BalasHapus
  22. nama:aditya ferdiansyah
    Kelas:11 KKB-A
    absen:4

    BalasHapus
  23. Nama:Adam Muhammad
    Kelas:11 KKB A
    Absen :2

    BalasHapus
  24. NAMA:ADI RIZKI
    KELAS:11 KKB-A
    ABSEN:03

    BalasHapus
  25. Nama:Muhammad Zainudin
    Kelas:11 KKB A
    Absen:21

    BalasHapus
  26. NAMA:FATHUR ROZI
    KELAS:XI KKB A
    NO.ABSEN:09

    BalasHapus
  27. Alan Ngantung
    11 KKB-A
    ABSEN:5

    BalasHapus
  28. Nama:hidayatul maghfiroh
    Kelas: 11 KKB A
    Absen: 11

    BalasHapus
  29. Iffah Salsabila
    11 KKB.A
    Absen 12

    BalasHapus
  30. Oik Robiansyah
    11 KKB B
    Absen 25

    BalasHapus
  31. Muhammad Raykhan Sehatta
    11 KKB B
    Absen 22

    BalasHapus
  32. Jasmyne ayuralya suryamaharani
    XI KKB B
    absen 14

    BalasHapus
  33. Fara dilla nur aulia r
    XI KKB B / 11

    BalasHapus
  34. nama:nanda tanjung pratama
    Kelas:11 kkb b
    Absen 24

    BalasHapus
  35. Moch Rudi
    Kls=11 KKB B
    ABSEN =18

    BalasHapus
  36. Komentar ini telah dihapus oleh pengarang.

    BalasHapus
  37. Komentar ini telah dihapus oleh pengarang.

    BalasHapus
  38. ILHAM AFIFUDIN
    11 KKB-B
    Absen 13

    BalasHapus
  39. Mochamad Adhimas Abhimata
    XI KKBB / 11
    Absen 19

    BalasHapus
  40. Erwin nugraha
    11 KKB B
    ABSEN 10

    BalasHapus
  41. Yosep olaman balawanga
    11 KKB B
    Absen 32

    BalasHapus
  42. Komentar ini telah dihapus oleh pengarang.

    BalasHapus
  43. Alex ander palen.
    11 KKB-B
    Absen 5

    BalasHapus
  44. Sultan rafi juliansyah
    XI KKB-B
    Absen 30

    BalasHapus
  45. Aditya Surya Putra
    XI KKB B
    absen o3

    BalasHapus
  46. Aditya Surya Putra
    XI KKB B
    absen o3

    BalasHapus